几何概型的分类解析

    几何概型是一个重要的概率模型，由几何概型的概率公式可以知道，确定几何区域的测度是至关重要的。因此，我们要掌握几种常见测度的几何概型，举一反三，做到真正地掌握几何概型的概率求法。下面我们就介绍几种常见测度的几何概型。

一、 长度型

设线段是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段上的点数与线段的

长度成正比，而与线段在线段L上的相对位置无关，则点落在线段上的概率

例1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分

钟的概率（假定车到来后每人都能上）。

解：本题符合几何概型的条件，由几何概率公式求得，即任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率为

点评：解决本题的关键是把车到站的一切可能时刻转化为在内任取一点，从而转化为测度为长度的几何概型。

二、 面积型

设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数

与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率

例2、已知，，

若向区域A上随机投一粒豆子，求豆子落入区域B的概率。

分析：首先要在坐标平面内将区域A和区域B表示出来，由于涉及的是A和B的面积问题，故可通过几何知识进行求解。

解：如图，区域A是一个三角区域，其面积为，区域B是图中阴影部分，是一个矩形，其面积为3，所以豆子落入区域B的概率为

三、 体积型

设空间区域v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点。若落在区域v上的点数

与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率

例3、正方体中，棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率。

解：记“四棱锥M－ABCD的体积小于”为事件A，则事件A发生，即，

设M到面ABCD的距离为h，则，，所以，

所以只要点M到面ABCD的距离小于  所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以ABCD为底面，高为的长方体，其体积为，又正方体的体积为1，所以使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为

点评：本题综合考查了空间几何与几何概型的交汇，求解关键是把问题转化为距离比。