2.3.1平面向量的基本定理
一、学习目标：
1.理解平面向量基本定理．
2．会用任意一组基底表示指定的向量．
3．理解向量夹角的概念．
二、课前导学：
(一)基础梳理：
1．对于向量的数乘λa，其长度和方向的规定：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当____时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向_____；当λ＝0时，λa＝0.
λ>0；相反
(二)预习：
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______
答：不共线; 基底．
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3、在 |
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△ |
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ABC |
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中，向量 |
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AB |
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→ |
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、 |
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BC |
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→ |
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、 |
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CA |
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→ |
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，可形成 |
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多少组基底？ |
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（1）非零向量；夹角．（2）[0°，180°]；0°；180°；（3）90°。
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（三）自测
1．设O是▱ABCD的对角线交点，则下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B.与不共线，故①可作为平行四边形所在平面内所有向量的一组基底；又∥，故②不可以作为基底；与不共线，故③可以；与共线，故④不可以作为基底．
2.
如图所示，已知ABCDEF是正六边形，且A＝a，A＝b，则B等于( )
A.eq \f(1,2)(a－b) B.eq \f(1,2)(b－a) C．a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(1,2)(a＋b)
解析：选D.连结AD(图略)，则A＝A＋A＝a＋b，
∴B＝eq \f(1,2)A＝eq \f(1,2)(a＋b)．
3．AD与BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且＝a，＝b，则等于( )
A.eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b C.eq \f(2,3)a－eq \f(2,3)b D．－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b
解析：选B.设AD与BE交点为F，则＝eq \f(2,3)a，＝eq \f(2,3)b，
由＋＋＝0，得＝eq \f(2,3)(a－b)，
所以＝2 ＝2(－)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b.
4．平面上两个不共线的非零向量a与b，若|a＋b|＝|a－b|，则a与b夹角为__________．
解析：以a、b为邻边作平行四边形，|a＋b|、|a－b|表示平行四边形两条对角线长相等，故是矩形．
答案：90°
三、合作探究：
探究一、用基底表示向量
平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．定理说明了只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来，它体现了事物间的相互转化，也为我们今后的解题提供了一种方法．
例1
【思路分析】 基底已经选定，所以要表示其他向量，只要利用向量的线性运算，即可写出其线性表达式．
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本例中，如果把 |
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“ |
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? |
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ABCD |
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” |
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改为 |
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“ |
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等腰梯形 |
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ABCD |
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，且 |
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DC |
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1 |
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2 |
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AB |
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” |
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，用 |
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a |
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、 |
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b |
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如何表示 |
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MC |
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→ |
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、 |
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MA |
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→ |
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、 |
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MB |
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→ |
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？ |
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探究二、向量夹角的计算
主要是结合图形，指明向量夹角的位置，利用三角形求其角．
例2、若a≠0，且b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
【思路分析】 利用平行四边形法则作出a－b与a＋b，作出其角度．
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小结： 求向量夹角，必须使两向量共起点．否则通过平移后求其角．
*探究三、平面向量基本定理的综合应用
例3、如图，已知▱ABCD中M为AB的中点，N在BD上，3BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
方法技巧
1．用基底表示平面向量，要充分利用向量加、减法的三角形法则或平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．如例1
2．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题．如例3
失误防范
1．零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作为平面向量的一组基底．只有平面内两个不共线的向量才可作为基底．
2．平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同．
3．向量的夹角与多边形内角区分开．如例2
四、课堂小结
五、课外作业
1、1．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选B.由于同一平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面所有向量的基底，故①错误，而②③正确，故选B.
2．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数
C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a＝λ1e1＋λ2e2，实数λ1、λ2有无数对
解析：选A.平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的．
3．设e1、e2是同一平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的为( )
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2
解析：选C.∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，
∴4e2－2e1与e1－2e2是共线向量，∴e1－2e2和4e2－2e1不能作基底．
4．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
解析：选B.
如图所示，∠1＝∠2，
∴eq \f(|CB|,|CA|)＝eq \f(|BD|,|DA|)＝eq \f(1,2)，∴＝eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)(－)＝eq \f(1,3)(b－a)，
∴＝＋＝a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
5．已知△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝eq \f(1,3)＋λ，则λ＝__________.
解析：＝－，由于＝2， 所以＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(－)．
在△ACD中， ＝＋＝＋eq \f(2,3)(－)＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)，∴λ＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3)
6、已知如图，在△ABC中，D为BC的中点，E、F为BC的三等分点，若A＝a，A＝b，试分别用a，b表示A，A，A.
解：＝－＝b－a.
A＝A＋B＝A＋eq \f(1,2)B＝a＋eq \f(1,2)(b－a)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；
A＝A＋B＝A＋eq \f(1,3)B＝a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b；
A＝A＋B＝A＋eq \f(2,3)B＝a＋eq \f(2,3)(b－a)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b.
