【学习目标】

1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.

【要点梳理】

要点一：两角和的余弦函数

要点二：两角和与差的正弦函数

在公式中用代替，就得到：

要点诠释：

(1)公式中的都是任意角；

(2)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如

当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；

(3)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：

要点三：两角和与差的正切函数

利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.

要点诠释：

公式成立的条件是：

；

2．重视角的变换

三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：

；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．

【合作探究】

探究一：两角和与差的三角函数公式的正用

例1．已知，，，是第三象限角，求、、的值．

【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的余弦、正弦公式求值．

【解析】  由，得

，

又由，为第三象限角得

，

∴．

= =

= =

【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦或余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的余弦公式中，求出和角或差角的余弦．

【变式1】（1）求的值；

（2）已知求的值．

【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角和所求的角之间有关系．（2）．

【解析】（1）

           =

(2),

又

          =

           =

【总结升华】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如，

等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．

探究二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用

例2．计算下列各式的值：

（1）；  （2）；

（3）．

【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形．

【解析】 （1）=

===.

（2）．

（3）∵ 

∴tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28°

  ∴原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1

【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式的变形应予以灵活运用．

【课外作业】

1．的值等于（ B ）

A．        B．        C．         D．

2． 已知则的值等于 （ B  ）

A．           B．            C．            D．

3．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是（ A   ）

A．1     B．     C．      D． 

4．已知为锐角，且cos=   cos = －,  则cos=_________．

【解析】∵ 为锐角，且，∴ ．

又∵ 、 均为锐角，∴  0＜ ＜π，且，

∴ ．

则

5．求值：

【解析】原式==