1.1.2 四种命题

1．1.3 四种命题间的相互关系

 

 

【问题导思】 

给出以下四个命题：

(1)对顶角相等；

(2)相等的两个角是对顶角；

(3)不是对顶角的两个角不相等；

(4)不相等的两个角不是对顶角；

1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？

【提示】 它们的条件和结论恰好互换了．

2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？

【提示】 命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

 

【问题导思】 

1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？

【提示】 逆命题：若q，则p.

否命题：若綈p，则綈q.

逆否命题：若綈q，则綈p.

2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？

【提示】 互逆、互否、互为逆否．

 四种命题的相互关系

 

【问题导思】 

1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？

【提示】 (1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？

【提示】 原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．

1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．

2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.  

(对应学生用书第5页)

 

 

 

 

 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)当x＝2时，x²－3x＋2＝0.

【思路探究】 (1)原命题的条件与结论分别是什么？

(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？

【自主解答】 (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．

否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题：若x＝2，则x²－3x＋2＝0，

逆命题：若x²－3x＋2＝0，则x＝2，

否命题：若x≠2，则x²－3x＋2≠0，

逆否命题：若x²－3x＋2≠0，则x≠2.

 

1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．

2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．

分别写出下列命题的逆命题 、否命题和逆否命题．

(1)负数的平方是正数；

(2)若a＞b，则ac²＞bc².

【解】 (1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

(2)逆命题：若ac²＞bc²，则a＞b；

否命题：若a≤b，则ac²≤bc²；

逆否命题：若ac²≤bc²，则a≤b.

 

 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．

(1)菱形的对角线互相垂直；

(2)等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

【思路探究】 eq \x(确定条件与结论)→eq \x(写出三种命题)→eq \x(判断真假)

【自主解答】 (1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．

否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．

逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．

 

1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．

2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．

3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．

下列命题中正确的是(  )

①“若x²＋y²≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x²＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③                                                                    B．①③

C．②③                                                                                   D．①

【解析】 ①原命题的否命题为“若x²＋y²＝0，则x，y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．

③原命题的逆否命题为“若x²＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程x²＋x－m＝0无实根，

∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－eq \f(1,4).

故m≤0，为真命题．

故正确的命题是①，③选B.

【答案】 B

 若a²＋b²＝c²，求证：a，b，c不可能都是奇数．

【思路探究】 (1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？

(2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？

【自主解答】 若a，b，c都是奇数，则a²，b²，c²都是奇数，所以a²＋b²为偶数，而c²为奇数，即a²＋b²≠c².即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a²＋b²＝c²，则a、b、c不可能都是奇数．

 

1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．

2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．

3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

“已知a，x为实数，若关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．

【解】 ∵a，x∈R，且x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集是空集．

∴Δ＝(2a＋1)²－4(a²＋2)＜0，

则4a－7＜0，解得a＜eq \f(7,4).

因此a＜2，原命题是真命题．

又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.

(对应学生用书第6页)

 

 

 

因否定错误致误

 写出命题“若x²＋y²＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．

【错解】 逆命题：若x，y全为零，则x²＋y²＝0，是真命题；

否命题：若x²＋y²≠0，则x，y全不为零，是假命题．

【错因分析】 本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．

【防范措施】 要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．

【正解】 逆命题：若x，y全为零，则x²＋y²＝0，是真命题；否命题：若x²＋y²≠0，则x，y不全为零，是真命题．

 

 

 

1．写出四种命题的方法：

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

2．四种命题的真假关系：

若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.

1．(2013·福州高二检测)已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a²＋b²≥eq \f(1,2)”的否命题是(  )

A．若a²＋b²＜eq \f(1,2)，则a＋b≠1

B．若a＋b＝1，则a²＋b²＜eq \f(1,2)

C．若a＋b≠1，则a²＋b²＜eq \f(1,2)

D．若a²＋b²≥eq \f(1,2)，则a＋b＝1

【解析】 “a＋b＝1”，“a²＋b²≥eq \f(1,2)”的否定分别是“a＋b≠1”，“a²＋b²＜eq \f(1,2)”，故否命题为：“若a＋b≠1，则a²＋b²＜eq \f(1,2)”．

【答案】 C

2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(  )

A．逆命题                                                                    B．否命题

C．逆否命题                                                                            D．无关命题

【解析】 从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．

【答案】 A

3．命题“当x＝2时，x²＋x－6＝0”的逆否命题是____．

【解析】 原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．

【答案】 当x²＋x－6≠0时，x≠2.

4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．

(1)若mn＜0，则方程mx²－x＋n＝0有实数根；

(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.

【解】 (1)逆命题：若方程mx²－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；

否命题：若mn≥0，则方程mx²－x＋n＝0没有实数根．假命题；

逆否命题：若方程mx²－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．

(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．

一、选择题

1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是(  )

A．若p，则綈q    B．若q，则綈p

C．若綈q，则p                                                                       D．若綈q，则綈p

【解析】 若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．

∴“若綈q，则p”一定是真命题．

【答案】 C

2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(  )

A．互逆命题                                                                            B．互否命题

C．互为逆否命题                                                                     D．以上都不正确

【解析】 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．

【答案】 A

3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax²＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为(  )

A．3    B．2    C．1    D．0

【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.

【答案】 B

4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是(  )

A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题

B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题

C．“已知a，b，m∈R，若am²<bm²，则a＜b”的逆命题是真命题

D．“若x∈N^*，则(x－1)²＞0”是假命题

【解析】 若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，

∴A正确；

B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．

                                                                                                  C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am²＜bm²为假命题，故C不正确．

D中x＝1时，(x－1)²＝0显然是假命题．故D正确．

【答案】 C

5．下列命题中，不是真命题的为(  )

A．“若b²－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题

B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题

C．“若x²＝9，则x＝3”的否命题

D．“对顶角相等”的逆命题

【解析】 A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x²≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．

【答案】 D

二、填空题

6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．

【答案】 若A∪B≠B，则A⃘B.

7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－1≤1,m＋1≥2))，∴1≤m≤2.

【答案】 [1,2]

8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：

①若a＞0，则方程ax²＋2x＝0有解．

②“等腰三角形都相似”的逆命题；

③“若x－eq \f(3,2)是有理数，则x是无理数”的逆否命题；

④“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题．

其中真命题的序号是________．

【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x－eq \f(3,2)是有理数，则x是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．

对于④中，“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．

【答案】 ①

三、解答题

9．设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

【解】 原命题是真命题．

逆命题是“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”，是真命题．

否命题是“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”，是真命题．

逆否命题是“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”，是真命题．

10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax²＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

【解】 (1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax²＋bx＋c＝0有实根”．

(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，

∴－ac＞0⇒Δ＝b²－4ac＞0⇒二次方程ax²＋bx＋c＝0有实根．

∴该命题是真命题．

11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.

【证明】 假设a＋b＜0，则a＜－b.

∵f(x)在R上是增函数．

∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．

∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．

即f(a)＋f(b)＜0.

∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.