第二章 圆锥曲线与方程

§2.1  椭 圆

2.1.1 椭圆及其标准方程

 

课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

 

1．椭圆的概念：平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于________(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF₁|＋|PF₂|＝|F₁F₂|时，轨迹是__________，当|PF₁|＋|PF₂|<|F₁F₂|时__________轨迹．

2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________．

 

一、选择题

1．设F₁，F₂为定点，|F₁F₂|＝6，动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝6，则动点M的轨迹是(  )

A．椭圆        B．直线        C．圆         D．线段

2．椭圆eq \f(x²,16)＋eq \f(y²,7)＝1的左右焦点为F₁，F₂，一直线过F₁交椭圆于A、B两点，则△ABF₂的周长为(  )

A．32         B．16          C．8          D．4

3．椭圆2x²＋3y²＝1的焦点坐标是(  )

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(6),6)))               B．(0，±1)

C．(±1,0)                 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(6),6)，0))

4．方程eq \f(x²,|a|－1)＋eq \f(y²,a＋3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(  )

A．(－3，－1)             B．(－3，－2)

C．(1，＋∞)              D．(－3,1)

5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，则该椭圆的方程是(  )

A.eq \f(y²,8)＋eq \f(x²,4)＝1                B.eq \f(y²,10)＋eq \f(x²,6)＝1

C.eq \f(y²,4)＋eq \f(x²,8)＝1                D.eq \f(y²,6)＋eq \f(x²,10)＝1

6．设F₁、F₂是椭圆eq \f(x²,16)＋eq \f(y²,12)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF₁F₂是(  )

A．钝角三角形             B．锐角三角形

C．斜三角形               D．直角三角形

 

二、填空题

7．椭圆eq \f(x²,9)＋eq \f(y²,2)＝1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上．若|PF₁|＝4，则|PF₂|＝________，∠F₁PF₂的大小为________．

8．P是椭圆eq \f(x²,4)＋eq \f(y²,3)＝1上的点，F₁和F₂是该椭圆的焦点，则k＝|PF₁|·|PF₂|的最大值是______，最小值是______．

9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．

三、解答题

10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；

(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))).

 

 

 

 

 

 

 

11．已知点A(0，eq \r(3))和圆O₁：x²＋(y＋eq \r(3))²＝16，点M在圆O₁上运动，点P在半径O₁M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．

 

 

 

 

 

 

 

能力提升

12．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x²,4)＋eq \f(y²,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(  )

A．2         B．3         C．6         D．8

 

 

13．如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

    1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F₁F₂|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F₁F₂|，轨迹是

线段F₁F₂，如果2a<|F₁F₂|，则不存在轨迹．

2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．

3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx²＋ny²＝1 (m，n为不相等的正数)．

 

 

第二章 圆锥曲线与方程

§2.1 椭 圆

2．1.1 椭圆及其标准方程

答案

 

知识梳理

1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F₁F₂ 不存在

2.eq \f(x²,a²)＋eq \f(y²,b²)＝1 (a>b>0) F₁(－c，0)，F₂(c，0) 2c eq \f(y²,a²)＋eq \f(x²,b²)＝1  (a>b>0)

作业设计

1．D [∵|MF₁|＋|MF₂|＝6＝|F₁F₂|，

∴动点M的轨迹是线段．]

2．B [由椭圆方程知2a＝8，

由椭圆的定义知|AF₁|＋|AF₂|＝2a＝8，

|BF₁|＋|BF₂|＝2a＝8，所以△ABF₂的周长为16.]

3．D

4．B [|a|－1>a＋3>0.]

5．D [椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，

又过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))验证即可．]

6．D [由椭圆的定义，知|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝8.

由题可得||PF₁|－|PF₂||＝2，

则|PF₁|＝5或3，|PF₂|＝3或5.

又|F₁F₂|＝2c＝4，∴△PF₁F₂为直角三角形．]

7．2 120°

解析 

∵|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝6，

∴|PF₂|＝6－|PF₁|＝2.

在△F₁PF₂中，

cos∠F₁PF₂＝

eq \f(|PF₁|²＋|PF₂|²－|F₁F₂|²,2|PF₁|·|PF₂|)

＝eq \f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq \f(1,2)，∴∠F₁PF₂＝120°.

8．4 3

解析 设|PF₁|＝x，则k＝x(2a－x)，

因a－c≤|PF₁|≤a＋c，即1≤x≤3.

∴k＝－x²＋2ax＝－x²＋4x＝－(x－2)²＋4，

∴k_max＝4，k_min＝3.

9．m－n

解析 设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋c＝m＋R,a－c＝n＋R))，则2c＝m－n.

10．解 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设椭圆的标准方程为eq \f(x²,a²)＋eq \f(y²,b²)＝1 (a>b>0)．

∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.

∴b²＝a²－c²＝5²－4²＝9.

故所求椭圆的标准方程为eq \f(x²,25)＋eq \f(y²,9)＝1.

(2)∵椭圆的焦点在y轴上，

∴设椭圆的标准方程为eq \f(y²,a²)＋eq \f(x²,b²)＝1 (a>b>0)．

由椭圆的定义知，2a＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))²＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))²)＋

 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))²＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))²)＝eq \f(3\r(10),2)＋eq \f(\r(10),2)＝2eq \r(10)，

∴a＝eq \r(10).

又∵c＝2，∴b²＝a²－c²＝10－4＝6.

故所求椭圆的标准方程为eq \f(y²,10)＋eq \f(x²,6)＝1.

11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO₁|＝4，

∴|PO₁|＋|PA|＝4，又∵|O₁A|＝2eq \r(3)<4，

∴点P的轨迹是以A、O₁为焦点的椭圆，

∴c＝eq \r(3)，a＝2，b＝1，

∴动点P的轨迹方程为x²＋eq \f(y²,4)＝1.

12．C [由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x₀，y₀)，

则 ·＝(x₀，y₀)·(x₀＋1，y₀)＝xeq \o\al(²,₀)＋x₀＋yeq \o\al(²,₀).

∵P为椭圆上一点，∴ eq \f(x\o\al(²,₀),4)＋eq \f(y\o\al(²,₀),3)＝1.

∴ ·＝xeq \o\al(²,₀)＋x₀＋3(1－eq \f(x\o\al(²,₀),4))

＝eq \f(x\o\al(²,₀),4)＋x₀＋3＝eq \f(1,4)(x₀＋2)²＋2.

∵－2≤x₀≤2，

∴  ·的最大值在x₀＝2时取得，且最大值等于6.]

13．解 以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，

则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.

由重心性质可知

|GB|＋|GC|

＝eq \f(2,3)(|BD|＋|CE|)＝20.

∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，

∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．

∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，

b²＝a²－c²＝10²－6²＝64，

故G点的轨迹方程为eq \f(x²,100)＋eq \f(y²,64)＝1，

去掉(10,0)、(－10,0)两点．

又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有eq \f(x′²,100)＋eq \f(y′²,64)＝1.

由重心坐标公式知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,3).))

故A点轨迹方程为eq \f((\f(x,3))²,100)＋eq \f((\f(y,3))²,64)＝1.

即eq \f(x²,900)＋eq \f(y²,576)＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．