3.1.2导数的概念

【学习目标】

1.知识与技能：（1）通过现实情境，理解瞬时变化率；（2）了解导数的概念。

2.过程与方法：通过初步运用逼近原理理解平均变化率和瞬时变化率的概念，理解导数概念的形成；掌握从具体到抽象，从特殊到一般的思想方法；领悟极限思想和函数思想。

3.情感、态度与价值观：初步了解逼近思想，体会探索的乐趣，感受数学的理性与严谨。

【重点、难点】

重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念。

难点：初步运用逼近思想理解导数的概念。

【学习方式】课前自主学习+课上小组合作学习

【教材梳理，预习指南】

一. 问题引入

1．平均变化率：                                        

2．我们学过平均速度，如何计算平均速度？                                             

平均速度不一定能反映物体在某一时刻的运动情况.

二. 新课导学

1．瞬时速度的定义

我们学过平均速度，如何计算平均速度？自由落体运动中，物体在不同时刻的速度是不一样的。

问题1：如何刻画物体某一时刻的运动情况呢？

（1）瞬时速度                                               

（2）理解：运动员的平均速度和自由落体的平均速度不一定能反映物体在某一时刻的瞬时速度。那么，如何求瞬时速度呢？

注：t=2附近：2+t可表示2之前，也可表示2之后，t是时间改变量，可以是正值也可以是负值。当t<0时，2+t在2_________（之前或之后）；当t>0时，2+t在2_______.

（3）完成下表：用“逼近思想”求瞬时速度

例题：自由落体运动的运动方程为，计算t在下表各段时间内的平均速度（位移的单位为m）。

上表中，平均速度都趋近于一个确定的值，这个值是                    

问题2：当t趋近于0时，有什么变化趋势？

即，当△t→0 时,平均速度的极限为，                            

2.导数定义：一般地，函数处的瞬时变化率是                             ，我们称它为函数处的导数，记作：            ，即                                    

由导数的定义可以知道，高度h关于时间t的导数就是运动员的                气球半径r关于体积V的导数就是气球的                .导数可以描述任何事物的                  。

3.探究求导数的步骤：

知识理解：

例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。

解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是和.

根据导数定义：

注：          说明在第2h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降；

f '(6)=5， 说明在第6h附近，原油温度， 大约以5 ℃/h的速度上升；

三．练习与巩固

1．例题中，计算第3h和第5h原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

2．以初速度为作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,

求物体在时刻时的瞬时速度。

3.一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ）A.2    B.1     C.      D.

4.过曲线上两点P（1,1）和Q（1+△x,1+△y）作曲线的割线，则当△x=0.1时割线的斜率     .

5.求函数之间的平均变化率，并计算当时变化率的值.

6.已知函数，下列说法错误的是（   ）

A、叫函数增量

B、叫函数在[]上的平均变化率

C、在点处的导数记为       D、在点处的导数记为

四.反思与小结