二次函数考点分类复习

知识点一：二次函数的定义☆☆

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）

1、下列函数中，是二次函数的是                 .

  ①y=x²－4x+1；   ②y=2x²；      ③y=2x²+4x； ④y=－3x；

  ⑤y=－2x－1；   ⑥y=mx²+nx+p；      ⑦y = EQ\F (4,x) 错误！未定义书签。；    ⑧y=－5x。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t²+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为     。

3、若函数y=(m²+2m－7)x²+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为           。

知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值☆☆☆

（方法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)²+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax²+bx+c则最值为 EQ \F(4ac-b²,4a) ）

1．抛物线y=2x²+4x+m²－m经过坐标原点，则m的值为         。

2．抛物y=x²+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝     ，c＝     .

3．抛物线y＝x²＋3x的顶点在(   )

 A.第一象限     B.第二象限    C.第三象限     D.第四象限

4．已知抛物线y＝x²＋(m－1)x－ EQ \F(1,4) 的顶点的横坐标是2，则m的值是_         .

5．若二次函数y=3x²+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝        。

6．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xⁿ＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.。

7．已知二次函数y=x²－4x+m－3的最小值为3，则m＝         。

知识点三：函数y=ax²+bx+c的图象和性质☆☆☆☆

1．抛物线y=x²+4x+9的对称轴是           。

2．抛物线y=2x²－12x+25的开口方向是       ，顶点坐标是                。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式                。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y= EQ \F(1,2) x²－2x+1 ；   （2）y=－3x²+8x－2；    （3）y=－ EQ \F(1,4) x²+x－4

知识点四：函数y=a(x－h)²的图象与性质☆☆☆

1．填表：

2．已知函数y=2x²,y=2(x－4)²，和y=2(x+1)²。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x²得到抛物线y=2(x－4)²和y=2(x+1)²？

 

 

3．试写出抛物线y=3x²经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移 EQ \F(2,3) 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

 

 

4．试说明函数y= EQ \F(1,2) (x－3)² 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

知识点五：二次函数的增减性☆☆☆☆

1.二次函数y=3x²－6x+5，当x>1时，y随x的增大而          ；当x<1时，y随x的增大而          ；当x=1时，函数有最      值是         。

2.已知函数y=4x²－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为         。

3.已知二次函数y=x²－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是    .

4.已知二次函数y=－ EQ \F(1,2) x²+3x+ EQ \F(5,2) 的图象上有三点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)且3<x₁<x₂<x₃，则y₁,y₂,y₃的大小关系为               .

知识点六：二次函数的平移☆☆☆

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)²+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减

6.抛物线y= － EQ \F(3,2) x²向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为                 。

7.抛物线y= 2x²，              ，可以得到y=2(x+4}²－3。

8.将抛物线y=x²+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为                     。

知识点七：函数的交点☆☆☆☆☆

11.抛物线y=x²+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为              。

12.直线y=7x+1与抛物线y=x²+3x+5的图象有       个交点。

知识点八：函数的的对称☆☆☆

13.抛物线y=2x²－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为                    。

14.抛物线y=ax²+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x²－4x+3，则a=         b=         c=            

知识点九：函数的图象特征与a、b、c的关系☆☆☆

1.已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（   ）

    A.a>0,b>0,c>0     B.a>0,b>0,c=0

    C.a>0,b<0,c=0     D.a>0,b<0,c<0

3. 抛物线y=ax²+bx+c中，b=4a，它的图象如图，有以下结论：其中正确的为（   ）．

①c＞0；②a+b+c＞0；③a-b+c＞0④b²-4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；

A.①②   B.①④   C.①②⑥   D.①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax²+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（     ）

 

 

 

 

 

知识点十：二次函数与x轴、y轴的交点☆☆☆☆☆

1.   如果二次函数y＝x²＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝        （写一个即可）

2.  二次函数y＝x²-2x-3图象与x轴交点之间的距离为   

3.   抛物线y＝－3x²＋2x－1的图象与x轴交点的个数是(   )

  A.没有交点   B.只有一个交点   C.有两个交点   D.有三个交点

4.   若二次函数y＝(m+5)x²+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是         

知识点十一：函数解析式的求法☆☆☆

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax²+bx+c，然后解三元方程组求解；

 1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

 

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)²+k求解。

 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

 

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x₁)(x－x₂)。

3．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

 

反馈：

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式                     。

10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式                          。

12．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

17．抛物线y= (k²－2)x²+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － EQ \F(1,2) x+2上，求函数解析式。

知识点十二：二次函数应用☆☆☆☆☆

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.

(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

 

 

 

 

2、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出500千克；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题：

(1)当销售单价定为每千克65元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)销售单价定为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，求y（用含x的代数式表示）

(3)月销售利润能达到10000元吗？请说明你的理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3、一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价30元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，每降价1元，月销量可增加2万件．销售期间，要求销售单价不低于成本单价，且获利不得高于60％

(1)求出月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式．

(2)求出月销售利润w(万元)(利润=售价—成本价)与销售单价x(元)之间的函数关系式．

(3)请你根据(2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品销售单价的范围，使月销售利润不低于210万元．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

反馈与巩固作业

二次函数的定义

1、若函数y=(m－2)x^{m －2}+5x+1是关于的二次函数，则m的值为            。

二次函数的对称轴、顶点、最值

2．抛物线y=x²+2x－3的对称轴是            。

3．已知二次函数y=x²－2ax+2a+3，当a=     时，该函数y的最小值为0.

4．已知二次函数y=mx²+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝      ______

二次函数的平移、增减性、图象

5.如果将抛物线y=2x²－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为                。

6.将抛物线y=ax²+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x²－4x－1则a＝        ，b＝        ，c＝         .

7.将抛物线y＝ax²向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为                       _.

8．把抛物线y=－2x²+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

9.已知函数y=4x²－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为         。

10.已知抛物线y=ax²+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ）

    A．a+b+c> 0              B．b>-2a

    C．a-b+c> 0              D．c< 0

二次函数与x轴、y轴的交点

5.   已知抛物线y＝x²-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

 

 

 

 

 

 

函数解析式的求法

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

4．抛物线y=2x²+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式                         。

5．若抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x²的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式                   。

6．抛物线y=2x²+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝       ，c＝         .

二次函数应用

1．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：

方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；

方案二：售价不变，但发资料做广告。已知这种商品每月的广告费用m(千元)与销售量倍数p关系为p = ；

试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由

 

 

 

 

 

 

3．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？