2.1.2 离散型随机变量的分布列

【课标要求】

1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．

2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．

3．通过实例(如彩票抽奖)，理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用．

【核心扫描】

1．离散型随机变量及其分布列的概念．(重点)

2．离散型随机变量分布列的表示方法和性质．(重点)

3．两点分布与超几何分布的概念及应用．(难点)

 

自学导引

1．离散型随机变量的分布列

(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x₁，x₂，…，x_i，…，x_n，X取每一个值x_i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x_i)＝p_i，以表格的形式表示如下：

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．

(2)性质：①p_i≥0，i＝1,2,3，…，n；②p(n)_i＝1.

想一想：如何求离散型随机变量在某一范围内的概率．

提示 离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两个特殊分布列

(1)两点分布列

若随机变量X的分布列为

则称该分布列为两点分布列．

若随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率．

(2)超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有k件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝N(n)，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*，则称分布列

为超几何分布列，随机变量X服从超几何分布．

试一试：只取两个不同值的随机变量一定服从两点分布吗？举例说明．

提示 只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布．例如：随机变量X的分布列如下：

则X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.

 

 

 

 

名师点睛

1．求离散型随机变量的分布列的步骤

(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x_i(i＝1,2，…)；

(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝x_i)＝p_i；

(3)列出表格．

2．求离散型随机变量分布列时应注意以下几点

(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．

(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．

3．两点分布与超几何分布

(1)两点分布又称为0～1分布或伯努利分布，它反映了随机试验的结果只有两种可能，如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；一次投篮是否命中等．在两点分布中，随机变量的取值必须是0和1，否则就不是两点分布．

(2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问题，对该类问题直接套用公式即可．但

在解决相关问题时，首先确定随机变量X是否服从超几何分布.

题型一 求离散型随机变量的分布列

【例1】 袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列．

[思路探索] 确定随机变量ξ的所有可能取值，分别求出ξ取各值的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[规律方法] 求离散型随机变量的分布列关键有三点：(1)随机变量的取值；(2)每一个取值所对应的概率；(3)所有概率和是否为1来检验．

【变式1】 从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型二 分布列的性质及应用

【例2】 设随机变量X的分布列P5(k)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常数a的值；

(2)求P5(3)；

(3)求P10(7).

[思路探索] 已知随机变量X的分布列，根据分布列的性质确定a及相应区间的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[规律方法] 应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X的取值为x₁，x₂，…，x_n，取这些值的概率为P(X＝x_i)＝p_i，i＝1，2，…，n，则①p_i≥0，i＝1,2，…，n，②p₁＋p₂＋…＋p_n＝1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

【变式2】 已知随机变量X只能取三个值x₁，x₂，x₃，其概率值依次成等差数列，求公差d的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型三 超几何分布

【例3】 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．

(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；

(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，

①求顾客乙中奖的概率；

②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．

审题指导 

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[规范解答]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【题后反思】 解决超几何分布问题的两个关键点

(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．

(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．

【变式3】 (2013·南昌高二检测)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法技巧 求随机变量分布列的技巧

求分布列的步骤：(1)明确随机变量ξ取哪些值；(2)求ξ取每一个值的概率；(3)列成表．其中(1)是基础，(2)是关键．

【示例1】 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率．

[思路分析] 按照求分布列的三步骤来求解．