2．1.1 离散型随机变量

 

【课标要求】

1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．

2．了解随机变量与函数的区别与联系．

3．会用离散型随机变量描述随机现象．

【核心扫描】

1．随机变量及离散型随机变量的概念．(重点)

2．随机变量与函数的关系．(易混点)

3．用离散型随机变量描述随机现象．(难点)

自学导引

1．随机变量

(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量．

(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

试一试：下列变量中，不是随机变量的是(  )．

A．掷一枚骰子，所得的点数

B．一射手射击一次，击中的环数

C．某日上证收盘指数

D．标准状态下，水在100℃时会沸腾

提示 根据随机变量定义知A、B、C为随机变量，D不是．故选D.

2．随机变量与函数的关系

试一试：一盒乒乓球共15个，其中有4个是已用过的，在比赛时，某运动员从中随机取了2个使用，比赛结束后又放回盒中，你能说出此时盒中已用过的乒乓球个数的所有可能取值吗？

提示 所取2个乒乓球中未使用的乒乓球数可能为0,1,2，所以它的可能值为4,5,6.

3．离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

想一想：除了离散型随机变量外，还有其他类型的随机变量吗？举例说明．

提示 存在其他类型的随机变量，如某种规格零件的尺寸，人的头发长度，人的身高等等．这些量的取值是一个取值范围，均无法一一列出．

 

 

名师点睛

1．随机试验

课本在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了随机试验的概念．一般地，一个试验如果满足下列条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．

2．随机变量的理解

(1)随机变量是将随机试验的结果数量化．事实上，随机变量和函数都是一种映射，随机变量是把随机试验的结果映射为实数，函数是把实数映射为实数．在函数的概念中，函数f(x)的自变量是实数x，在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是随机试验可能出现的结果．

(2)随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件．如：“掷一枚骰子”这一随机试验中所得点数是一随机变量ξ，随机变量“ξ＝2”，即对应随机事件：“掷一枚骰子，出现2

点”；而“ξ＝3或ξ＝4”，即对应随机事件：“掷一枚骰子出现3点或4点”.

题型一 随机变量的概念

【例1】 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

①任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；

②投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；

③某个人的属相随年龄的变化；

④在标准状况下，水在0 ℃时结冰．

[思路探索] 根据随机变量的概念判断．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[规律方法] 解答本类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．

【变式1】 若10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(  )．

A．取到产品的件数  B．取到正品的概率

C．取到次品的件数  D．取到次品的概率

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型二 离散型随机变量的判定

【例2】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；

(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；

(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；

(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．

[思路探索] 本题主要考查离散型随机变量的概念，解决本题首先明确是否是随机变量，然后根据定义判断．如果能够一一列出就是离散型随机变量．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[规律方法] 离散型随机变量的判定方法

判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的试验结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

【变式2】 ①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X；

②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X；

③射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．

上述问题中的X是离散型随机变量的是(  )．

A．①②③  B．①②  C．①③  D．②③

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型三 随机变量的应用

【例3】 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.

(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值，并说明这些值所表示的试验结果．

(3)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ.

审题指导 

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[规范解答]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【题后反思】 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用．这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．

【变式3】 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果．

(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；

(2)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是一个随机变量．

(3)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

误区警示 未理解题意，审题不清致错

【示例】 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的可能取值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 解决此类问题的关键是理解清楚随机变量所有可能的取值及其取每一个值时

对应的意义，不要漏掉或多取值，同时要找好对应关系.