3.2.1立体几何中的向量方法（一）
一、学习目
标
1.会求直线的方向向量与平面的法向量
；
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
3.会求直线和平面的夹角.
二、课前知多少
1. 若两直线
的方向向量分别是
，则有若
，则
；
____________________________.
2．直线的
方向向量：是指和这条直线所对应向量 
的向量，显然一条直线的方向向量可以有 ．
3．平面的法向量：是指所在的直线与平面 的向量，显然一个平面的法向量有 个
，它们是 向量．
三、合作探究 问题解决
问题1．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面平行与垂直关系中有什么作用？
（1）若两直线
的方向向量分别是
，则有
, 即______________；
_ , 即__ ____________.
（2）若直线
的方向向量为
，平面
的法向量为
，则有
, 即 ；
_ , 即 .
若
，则
.
_______________________________.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
（3）若两平面
的法向量分别是
则有
_ , 即 ；
, 即 .
若
，则
.
______________________________.
例题1.正方体
中， 
分别是
的中点.
求证：
平面
．
[来源:学科网]
问题3．
怎样求平面的法向量的坐标？
若要求出一个平面法向量的坐标，一般要建立坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（1）设出平面的法向量为
；
（2）找出平面内两个不共线的向量的坐标
；
（3）根据法向量的定义建立关于
的方程组
；
（4）解（3）中的方程组，取其中的一个解，即得一个法向量．
例题2.已知点
，求平面
的一个法向量．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
[来源:Z|xx|k.Com]
四、当堂检测
1.设
分别是直线
的方向向量，根据下列条件判断直线
的位置关系：
（1）
；__________________________________________；
（2）
； ___________________________________________．
2.设
分别是平面
的法向量，根据下列条件判断平面
的位置关系：
（1）
；____________________________________________；
（2）
；___________________________________________．
3.正方体
的边长为4，
分别是棱
的中点.求证：平面
平面
．
五、当天作业
1.已知
，则（ ）
2.下列各组向量中不平行的是（ ）
3.若平面
的法向量分别为
，则（ ）
相交但不垂直 
以上均不正确
4. 设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，若
，则
等于（ ）
2 
-4 
4 
-2
5.已知
，则平面
的一个单位法向量是（ ）
6.已知
，且
的方向向
量
，平面
的法向量为
，则
=
7.已知点
和向量
，
，且
，则点
的坐标为_____．
8.在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
，
是
的中点，求证：
平面
．
