§2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案

【教学目标】

1. 通过实例理解并掌握向量数乘的定义、运算性质及其几何意义；

2. 理解向量共线的含义，并能用向量共线的条件解决简单几何问题；

3. 掌握向量数乘的运算律.

【教学重难点】

重点：向量数乘运算及其几何意义、运算律、共线向量定理；

难点：共线向量定理及其应用.

【学习新知】

合作探究：（预习教材P87—P90）

探究1：向量数乘运算与几何意义

问题1：已知非零向量a，作出图形：①a+a+a；②-a+(-a)+(-a).   

 

 

 

由此可以看出：

a+a+a即3a与向量a的方向相_________，长度为向量a的_________倍；

-a+(-a)+(-a)即-3a与向量a方向相________，长度为向量a的_________倍。

 

 

小组讨论下列思考题：

思考1：通过作出的图形，能否说出它们的几何意义？  

思考2：实数与向量能否进行加减运算？实数与向量相乘的结果是实数还是向量？

思考3：λa与a的大小和方向有什么关系？

思考4：λa=0的条件是什么？

 

 

 

结论：向量数乘的结果为一个_________，其模等于这个实数的_________与这个向量_________的乘积，其方向与_________的正负有关.

 

向量数乘：一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作___________，它的长度与方向规定如下：

（1）长度：___________=___________________________________;

（2）方向：当_________时，λa的方向与a的方向相同；当_______时，λa的方向与a方向相反，当_________时，λa=0.

问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量数乘运算律：设λ,u为实数，

（1）_______；  （2）_________；  （3）_________；

（4）________=___________；     （5）______________；

（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_______________.

例1. 计算：

(1)-7*6a

(2)4(a+b)-3(a-b)-8a

问题思考：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提公因式等变形手段在数与向量的乘积中仍适用吗？

 

 

 

问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？

观察如图所示内容，回答下列问题：

 

    两个向量共线（平行）的等价条件：如果共线，那么__________________________。

思考5：在向量共线的条件中，若向量a=0，则该定理是否成立？

思考6：根据向量共线的条件，对于非零向量a，b，如何确定实数λ，使b=λa？

       

 

例2. 已知两个两个向量a和b不共线，AB=a-b，BC=2a-8b，CD=3a+3b，求证：A、B、D三点共线.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AM、BM、CM、DM吗？