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由一道中考试题引发的思考
浏览次数:次      发布时间:2019-12-24       发布人:张怀瑜

 中考试题一般都源于教材,是教材知识的的延伸,或拓展,现举一例说明。

 

  原题:(人教版七年级下, 26页第6题 (2) )

 

    

2007年中考试题:

 

如图2,直线,连结,直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点落在某个部分时,连结,构成三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角.)

 

1)当动点落在第①部分时,求证:

 

2)当动点落在第②部分时,是否成立(直接回答成立或不成立)?

 

3)当动点在第③部分时,全面探究之间的关系,并写出动点的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.

 

 

 

分析:

这是一道开放型试题,这类试题已成为各地中考的必考试题。开放题的特征很多,如条件的不确定性,它是开放题的前提;结构的多样性,它是开放题的目标;思维的多向性,它是开放题的实质;解答的层次性,它是开放题的表象;过程的探究性,它是开放题的途径;知识的综合性,它是开放题的深化;情景的模拟性,它是开放题的实践;内涵的发展性,它是开放题的认识。过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景,鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题,有助于充分调动学生的潜在能力。本题的第一问结论确定,但是P点的具体位置不确定,需要学生大胆假设确定其位置,可以得到多种证明方法;第二问,实际就转化为了前面提到的教材的原型,而要求直接作答难度相对较小,显然不成立;第三问,开放性比较强,需要对结论进行探索,并且需要分类讨论。

 

解:1)解法一:如图9-1,延长BP交直线AC于点E           

∵ ACBD  , ∴ PEA = PBD . 

∵ APB = PAE + PEA ,     

∴ APB = PAC + PBD . 

解法二:如图9-2,过点PFPAC ,                 

∴ PAC = APF .              

∵ ACBD ,   FPBD .             

∴ ∠FPB =PBD .                   

 ∴ ∠APB =APF +FPB =PAC  PBD .

解法三:如图9-3

∵ ACBD ,  ∴ CAB +ABD = 180° 

即 PAC +PAB +PBA +PBD = 180°.

又∠APB +PBA +PAB = 180°,     

∴ ∠APB =PAC +PBD .            

2)不成立.                        

3(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是

PBD=PAC+APB .

(b)当动点P在射线BA上,

结论是PBD =PAC +APB .

PAC =PBD +APB 或 ∠APB = 0°,

PAC =PBD(任写一个即可).

(c当动点P在射线BA的左侧时,

结论是PAC =APB +PBD .      

选择(a证明:

如图9-4,连接PA连接PBACM

    ∵ ACBD ,

∴ PMC =PBD .

又∵PMC =PAM +APM ,

∴ PBD =PAC +APB .     

选择(b证明:如图9-5 

∵ 点P在射线BA上,∴APB = 0°.

∵ ACBD ,  PBD =PAC .  

∴ ∠PBD =PAC +APB

或∠PAC =PBD+APB 

APB = 0°,PAC =PBD.                         

选择(c证明:

如图9-6,连接PA,连接PBACF

∵ ACBD ,       PFA =PBD .

∵ PAC =APF +PFA ,

∴ PAC =APB +PBD .  

    

温馨提示:所谓的开放型试题是指那些条件不完整,结论不确定的数学问题,常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论,对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利,是今后中考的必考的题型。开放型试题重在开发思维,促进创新,提高数学素养,所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论证是科学思维方法,是新课标思维能力新添的内容,学习中应重视并应用。而要想做好此类试题我认为应从教材入手,教材中的习题和例题都有一定的探索性,我们只有立足教材充分发挥习题的作用,反复推敲,对习题进行一题多解和一题多变的变式训练,引导学生利用已有的知识与经验,主动探索知识发生和发展的过程,增强学生的应变能力,有利于巩固基础知识,发展创新思维,提高数学素养。

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