§3.1.1数系的扩充与复数的概念

学习目标 ：理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.

重点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．难点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．

学习过程  

一、课前预习（预习教材P₁₀₂~ P₁₀₃，找出疑惑之处）

复习1：实数系、数系的扩充脉络是：

        →         →        →         ，用集合符号表示为：                     

复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数：

（1）   （2）  （3）   （4）

二、探究新知

探究点一 复数的概念

问题：方程的解是什么？

为了解决此问题，我们定义，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为         .

1. 复数的定义：形如a＋bi (i)的数叫做复数，其中a，b∈______，i叫做__________．a叫做复数的______，b叫做复数的______．表示方法：复数通常用字母____表示，即________．

__________所构成的集合叫做复数集，通常用大写字母____表示．[来源:Zxxk.Com]

2．复数的分类及包含关系

(1) 复数(a＋bi, )

(2)集合表示：

3．探究点二 两个复数相等

若两个复数与的实部与虚部分别    ，即:        ，        .则说这两个复数相等.

=                 ；=0                 .

注意:两复数        比较大小.

 三、新知应用

例 1 ：请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．

①2＋3i；②－3＋2(1)i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.

例2 ：已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.

例3：当实数m为何值时，复数z＝m(m2＋m－6)＋(m²－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

四、达标训练

1. 实数取什么数值时，复数是实数（    ）

A．0      B．     C．      D．

2. 如果为实数,那么实数的值为（    ）

A．1或    B．或2       C．1或2     D．或

4. 若是纯虚数，则实数的值是              

5. 若，则实数=          ；=            .

五、课后训练

1. 已知复数z＝a²－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是 (  )[来源:Zxxk.Co]

A．，1      B．，5       C．±，5    D．±，1

2. 下列复数中，满足方程x²＋2＝0的是 (  )

A．±1   B．±i         C．±i   D．±2i

3. 如果z＝m(m＋1)＋(m²－1)i为纯虚数，则实数m的值为(  )

A．1   B．0       C．－1      D．－1或1

4. 下列几个命题：[来源:Zxxk.Com]

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；

②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；

③1－ai(a∈R)是一个复数；

④虚数的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一个，即为－i；

⑥i是方程x⁴－1＝0的一个根；

⑦i是一个无理数．其中正确命题的为              

5．实数m为何值时，复数z＝m－1(m(m＋2))＋(m²＋2m－3)i是  (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

6．已知x＋1(x2－x－6)＝(x²－2x－3)i(x∈R)，求x的值