灵活应对线性规划的问题
银川外国语实验中学 于晶
【关键词】线性规划 构造 目标函数
【摘要】线性规划是近几年高中教材的新增内容，也是今后学习的必要环节，因为应用它可以更好的解决生活中的很多关于生产利润最大以及材料最省等问题，也是高中数形结合思想方法的一个更好的体现，正因为如此，所以线性规划已作为数学教学中一个必考项目，通过一组数据可以很直观看出它的的地位，仅仅统计07，08年两年高考全国18个省市36份试卷，“线性规划”就考查了24次，其中大部分作为填空题出现。
鉴于此，我们很有必要让学生深刻理解掌握线性规划的内容，应用与实际生活中，作为高考应试，也很有必要让学生把此内容系统掌握，因而，笔者联系自己的教学实践，并从精选一些有代表性的试题，多角度分析说明。具体有以下两个方面。
一、利用线性规划解决实际应用问题
问题：本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别分500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的广告每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元。
[分析】应用线性规划求解实际问题的步骤；
从已知条件中建立数学模型; 1、设出所求的未知量；2、列出约束条件，（即不等式）3、建立目标函数；4、做出可行域，运用图解法求最优解，
解，设公司在甲电视台和乙电视台做广告时间分别为x分钟,y分钟，总收益为z,由题意可得
目标函数为 z=3000x+2000y,二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如果作直线L;3000x+2000y=0,即
3x+2y=0,从图可知当直线L;过M点时，目标函数取最大值，联立
解得 X=100,Y=200的点M坐标为（100，200）
∴
=3000×100+2000×200=700000
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200时，该公司收益最大，且最大为70万元。
二、线性规划中几种目标函数及解法
这类问题一般典型题法就是： 一个目标，一组条件，典型解法是几何代数并用，即根据条件画出区域，应用图解法来解决问题，因目标函数不同所以解决的思路在具体问题中就有各自的差异，下面笔者就结合具体题型来作以强化说明，
【题型1】：对于目标函数是z=ax+by或者直接给出ax+by这样类型的问题说求它的最大值或最小值问题，如是ax+by的形式，则先设Z=ax+by
解法一（截距法）
将Z=ax+by变形为
将
看作是直线在y轴上的截距，问题就转化为纵坐标截距的取值范围或最值问题，若b为负数，
则求Z的最大值或最小值问题，则求的就是直线截距相反。
【例1】已知实数x,y满足 
则2x+y的最小值
解法（截距法）
先画出约束条件限定的可行域（如图阴影部分所示）
设z=2x+y然后化为y=-2x+z的形式，将问题转化为求平行于直线y=-2x的直线族在y轴上的截距z的取值范围;由上图可知当直线经过点A(1,2)时，直线在y轴上的截距有最小值为4。
例1对于目标函数z=2x+y 已知实数x,y满足 条件求z的最小值。
解：作出可行域.设N(x,y)为可行域内任意一点，与已知点M(2,1)则
，由数量积的几何意义可知当N(x,y)在点A(1,2)时，
【题型2】对于形如型目标式。
在线性规划中，对于形如可先设为的Z=的目标函数，均可化为求可行内的点（x,y)与点（A,B)间的距离的平方的最值问题，然后计算可以求解。
变式例2对于上面的例就有已知实数x, 满足
则
的最小值及最大值
解，先画出满足不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示。 将目标函数设z,转化为
，问题转化为求可行域内的点（x,y)与原点O(0,0)的最小距离的平方的值。
显然，原点到B点的距离最大，到C点的距离最小，由
解得B点（3，4）
可以
,
【题型3】
形如的目标式，在线性规划中，可先设
的目标函数，可先变式为的形式，讲问题转化为可行域内的点（x,y)与点
连线斜率的
倍的范围或最值问题，问题从而得以解决，
变式例3 就上面的问题实数已知实数x, 满足则
的最值，
解，先画出满足不等式组所表示的可行域，如图阴影部分，
设
即有
问题的转化为求可行域内的点M（X,Y)与原点O(0,0)的连线斜率的最大值和最小值问题，（或由得
可以知道是过原点的直线，可求直线的最大最小） 所以
【题型4】 形如
型的目标函数
在线性规划中，形如Z=
型的目标函数，可将其转化为
的形式，将转化为求可行域内的点（x,y）到直线
距离的
倍的最值。
变式例4，对于实数x,y满足条件
则求
的最大值。
解，可画出不等式组所表示的可行域。
将目标函数可化为
问题转化为求可行域内的点（x,y）到直线
的距离的
倍最大值。观察可知点B到直线的距离最大。∴ 
=12
