一、对数学思想方法的认识

“数学思想方法”一词，在数学教育、数学教学领域已被广泛使用。对于什么是数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述。概括起来，大家通常是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的。数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容（如概念、命题、规律）和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等。

数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次，它们相互联系，协同发展。数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料；数学方法是解决问题的途径、手段，是数学思想发展的前提；数学思想是一类数学方法本质特征的反映，是数学方法的灵魂。数学思想和数学方法是紧密联系的，通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法。

对于中学数学中常用的数学思想方法，数学家和数学教育工作者的表述也不尽相同。概括起来，可以分为两类。一类是科学思想在数学中的应用，如分类讨论、分析与综合、归纳与演绎、类比、化归思想等；另一类是数学学科特有的思想方法，如符号与变元表示、模型化、集合与对应、公理化与结构化、数形结合、函数与方程、极限、算法与程序化、概率统计的思想方法等等。

数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证。因此必须重视数学思想方法的教学。在初中数学教学中，数学思想方法的教学可分为三个层次：渗透、介绍和突出。渗透，就是要在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，对于集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。介绍，就是要把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，对符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。突出，就是要在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。当然，随着学生学习的不断深入，对数学思想方法的要求也是不断深入的。例如算法的思想方法在初中阶段可以结合解方程（组）等进行“渗透”，到了高中就要求是“介绍”甚至“突出”的层次了。

二、做好内容解析，析出教学内容蕴含的数学思想方法

除“核心概念”外，“思想方法”也是本课题研究的重点内容，数学思想方法具有隐喻性的特点，它隐于知识内部，要经过反复体验才能领悟和运用。数学思想方法的教学，首先需要从对教学内容的分析入手，析出其中蕴含的数学思想方法。课题组的教学设计框架中第一条就是“内容和内容解析”，其用意不仅是要在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心，对概念在中学数学中的地位进行分析，还要求对其中隐含的数学思想方法做出明确表述。这就要求我们要理解教学内容所反映的数学思想方法。

1．“二元一次方程祖的解法”教学中的数学思想方法分析。

在学习这部分内容之前，学生已学习了一元一次方程，那时要解的是含有一个未知数的一个方程。对于“如何解由含有多个未知数的多个方程组成的方程组”的新问题，自然可以联想到相关的“解含有一个未知数的一元一次方程”的老问题，这是非常自然的思考方法。怎样解决新问题呢？首先就是要设法把复杂的新问题转化为老问题形式，这就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易的化归思想。这里将新问题转化为老问题就是要将含多个未知数的多个方程，转化为含有一个未知数的一个方程，先求出一个未知数，再逐步扩大战果，求出其余未知数。这也是非常自然的思考方法，这种“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的思想就是消元思想。确立了解决问题的思路，接下来就是如何实现消元了，也就产生了代入与加减两种消元的方法。而为了实现“代入”与“加减”，还需要具体的代数的恒等变换的方法。

“消元——二元一次方程组的解法”的教学中蕴含的思想方法体现了数学思想方法的层次性的特点，这种层次也反映了对数学内容本质的认识的概括程度的高低。这里，化归是第一个层次，消元是第二个层次，代入和加减是第三个层次，恒等变换是第四个层次。从培养学生良好的思维习惯和方法的角度看，本节课的教学不仅要让学生学会用代入法或加减法解二元一次方程组，更重要的是要引导学生产生和理解消元思想，体会解决新问题的过程（化归）。消元是学生自觉地、主动地理解和掌握代入法、加减法等具体解法的基础，也是避免死记硬背解法程序的关键。